Beweis, dass Primzahllückenkombinationen 3mod5/1mod5/2mod5/1mod5 nicht möglich sind.

p, q, r, s, t seien Primzahlen größer 5. λ, μ, ν und ο seien die Primzahllücken für
p + λ = q, q + μ = r, r + ν = s und s + ο = t.
Angenommen λ sei eine gerade Zahl der Klasse 3mod5, ergäbe also bei der Teilung durch 5 Rest 3. μ und ο seien beide gerade Zahlen der Klasse 1mod5, ergäben also den Rest 1 bei Teilung durch 5
Und ν sei eine gerade Zahl der Klasse 2mod5, ergäbe also bei der Teilung durch 5 Rest 2.

Die Primzahl p kann nur eine ungerade Zahl der Klasse 1mod5, 2mod5, 3mod5 oder 4mod5 sein. Wäre sie eine ungerade Zahl der Klasse 0mod5 dann wäre sie durch 5 teilbar und damit keine Primzahl.

Fall a) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 1mod5. Dann ist p + λ = q oder 1mod5 + 3mod5 = 4mod5 = q.
Weiter ist q + μ = r oder 4mod5 + 1mod5 = 5mod5 = 0mod5 = r.
Da r aber eine Primzahl ist, kann sie nicht eine ungerade Zahl der Klasse 0mod5 sein und damit ist der Fall a) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 1mod5 sein, wenn die Lücken wie oben angenommen kombiniert werden.

Fall b) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 2mod5. Dann ist p + λ = q oder 2mod5 + 3mod5 = 5mod5 = 0mod5 = q.
Da q aber eine Primzahl ist, kann sie nicht eine ungerade Zahl der Klasse 0mod5 sein und damit ist der Fall b) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 2mod5 sein, wenn die Lücken wie oben angenommen kombiniert werden.

Fall c) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 3mod5. Dann ist p + λ = q oder 3mod5 + 3mod5 = 6mod5 = 1mod5 = q.
Weiter ist q + μ = r oder 1mod5 + 1mod5 = 2mod5 = r. Die nächste Primzahl würde sich dann folgendermassen berechnen lassen:
r + ν = s oder 2mod5 + 2mod5 = 4mod5 = s. Die letzte Primzahl ergäbe sich dann als:
s + ο = t oder 4mod5 + 1mod5 = 5mod5 =0mod5 = t
Da t aber eine Primzahl ist, kann sie nicht eine ungerade Zahl der Klasse 0mod5 sein und damit ist der Fall c) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 3mod5 sein, wenn die Lücken wie oben angenommen kombiniert werden.

Fall d) Angenommen p wäre eine ungerade Zahl der Klasse 4mod5. Dann ist p + λ = q oder 4mod5 + 3mod5 = 7mod5 = 2mod5 = q.
Weiter ist q + μ = r oder 2mod5 + 1mod5 = 3mod5 = r. Die nächste Primzahl würde sich dann folgendermassen berechnen lassen:
r + ν = s oder 3mod5 + 2mod5 = 5mod5 = 0mod5 = s .
Da s aber eine Primzahl ist, kann sie nicht eine ungerade Zahl der Klasse 0mod5 sein und damit ist der Fall d) nicht möglich,
d.h. p kann nicht eine ungerade Zahl der Klasse 4mod5 sein, wenn die Lücken wie oben angenommen kombiniert werden.

Alle vier Fälle ergeben also einen Widerspruch. Es sind damit keine fünf aufeinanderfolgenden Primzahlen mit
Lücken möglich, die nacheinander geraden Zahlen der Klassen 3mod5/1mod5/2mod5/1mod5 entsprechen.■